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Usando a definição de limite, determine a derivada das seguintes funções.

f(x)= 1⁄√(2x-1)

E também

f(x)=³√(x+3)

Se puderem explicar o que fizeram iria me ajudar muito. Muito Obrigado!


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Para encontrar as derivadas das funções dadas, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & f=\sqrt{2x-1} \\ & f={{(2x-1)}^{1/2}} \\ & f'=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}} \\ & f'=\frac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ & \\ & g=\sqrt[3]{x+3} \\ & g={{(x+3)}^{1/3}} \\ & g'=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{(x+3)}^{2}}}} \\ \end{align}\ \)

Portanto, essas são as d uas derivadas das funções dadas.

Para encontrar as derivadas das funções dadas, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & f=\sqrt{2x-1} \\ & f={{(2x-1)}^{1/2}} \\ & f'=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}} \\ & f'=\frac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ & \\ & g=\sqrt[3]{x+3} \\ & g={{(x+3)}^{1/3}} \\ & g'=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{(x+3)}^{2}}}} \\ \end{align}\ \)

Portanto, essas são as d uas derivadas das funções dadas.

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Isadora

Há mais de um mês

A definição de derivada usando limites é:

lim h→ 0 [f(x + h) - f(x)]/h

Fazendo lim h → 0 = L pra ficar mais fácil a notação temos:

 

Para a primeira função:

f'(x) = L [1/ √(2x + 2h - 1) - 1/ √(2x - 1)] / h

arrumando o numerador, teremos:

f'(x) = L [√(2x - 1) - √(2x + 2h -1)]/h.√(2x + 2h -1).√(2x - 1)

multiplicando pelo conjugado do numerador ( [√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)], basta pegar o numerdor e trocar o sinal de menos por mais), em cima e em baixo, teremos:

f'(x) = L [(2x - 1) - (2x + 2h - 1)] / h.√(2x + 2h -1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)]

f'(x) = L [-2h] / h.√(2x + 2h -1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)]

Cancelando o h , temos:

f'(x) = L [-2] / √(2x + 2h -1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)]

Agora, calculando esse limite, obtemos:

f'(x) = [-2] / √(2x - 1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x - 1)]

f'(x) = [-2] / (2x - 1).2√(2x - 1)

f'(x) = -1 / (2x - 1).√(2x - 1)

 

Para a segunda função:

f'(x) = L [ ³√(x + h +3) - ³√(x + 3)]/h

Agora, precisamos multiplicar pelo conjugado do numerador, em cima e em baixo, porém esse conjugado é um pouco mais complicado de achar do que na função anterior.

Sabemos que a³ - b³ = (a - b)(a² + a.b + b²). Usando essa relação e fazendo 

a = ³√(x + h +3) e b = ³√(x + 3), teremos que o nosso numerador do limite é (a - b).

Portanto o nosso conjugado é:

(a² + a.b + b²) = ³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²

 

Assim, voltando ao limite e multiplicando pelo conjugado, temos:

f'(x) = L [ (x + h +3) - (x + 3)] / h.³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²

f'(x) = L h / h.³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²

Cancelando o h , temos:

f'(x) = L 1 / ³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²

Agora, calculando esse limite, obtemos:

f'(x) = L 1 / ³√(x + 3)² + ³√(x + 3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²

f'(x) = L 1 / ³√(x + 3)² + ³√(x + 3)² + ³√(x + 3)²

f'(x) = L 1 / 3.³√(x + 3)² 

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Ciro

Há mais de um mês

Muiito obrigado! Não estava lembrando da parte dos conjugados! 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas