f(x)= 1⁄√(2x-1)
E também
f(x)=³√(x+3)
Se puderem explicar o que fizeram iria me ajudar muito. Muito Obrigado!
A definição de derivada usando limites é:
lim h→ 0 [f(x + h) - f(x)]/h
Fazendo lim h → 0 = L pra ficar mais fácil a notação temos:
Para a primeira função:
f'(x) = L [1/ √(2x + 2h - 1) - 1/ √(2x - 1)] / h
arrumando o numerador, teremos:
f'(x) = L [√(2x - 1) - √(2x + 2h -1)]/h.√(2x + 2h -1).√(2x - 1)
multiplicando pelo conjugado do numerador ( [√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)], basta pegar o numerdor e trocar o sinal de menos por mais), em cima e em baixo, teremos:
f'(x) = L [(2x - 1) - (2x + 2h - 1)] / h.√(2x + 2h -1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)]
f'(x) = L [-2h] / h.√(2x + 2h -1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)]
Cancelando o h , temos:
f'(x) = L [-2] / √(2x + 2h -1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x + 2h -1)]
Agora, calculando esse limite, obtemos:
f'(x) = [-2] / √(2x - 1).√(2x - 1).[√(2x - 1) + √(2x - 1)]
f'(x) = [-2] / (2x - 1).2√(2x - 1)
f'(x) = -1 / (2x - 1).√(2x - 1)
Para a segunda função:
f'(x) = L [ ³√(x + h +3) - ³√(x + 3)]/h
Agora, precisamos multiplicar pelo conjugado do numerador, em cima e em baixo, porém esse conjugado é um pouco mais complicado de achar do que na função anterior.
Sabemos que a³ - b³ = (a - b)(a² + a.b + b²). Usando essa relação e fazendo
a = ³√(x + h +3) e b = ³√(x + 3), teremos que o nosso numerador do limite é (a - b).
Portanto o nosso conjugado é:
(a² + a.b + b²) = ³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²
Assim, voltando ao limite e multiplicando pelo conjugado, temos:
f'(x) = L [ (x + h +3) - (x + 3)] / h.³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²
f'(x) = L h / h.³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²
Cancelando o h , temos:
f'(x) = L 1 / ³√(x + h +3)² + ³√(x + h +3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²
Agora, calculando esse limite, obtemos:
f'(x) = L 1 / ³√(x + 3)² + ³√(x + 3).³√(x + 3) + ³√(x + 3)²
f'(x) = L 1 / ³√(x + 3)² + ³√(x + 3)² + ³√(x + 3)²
f'(x) = L 1 / 3.³√(x + 3)²
Para encontrar as derivadas das funções dadas, realizaremos os cálculos abaixo:
\(\begin{align} & f=\sqrt{2x-1} \\ & f={{(2x-1)}^{1/2}} \\ & f'=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}} \\ & f'=\frac{1}{\sqrt{2x-1}} \\ & \\ & g=\sqrt[3]{x+3} \\ & g={{(x+3)}^{1/3}} \\ & g'=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{(x+3)}^{2}}}} \\ \end{align}\ \)
Portanto, essas são as d uas derivadas das funções dadas.
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.
Compartilhar