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eliminação de Gauss

Atravez do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear: { 0.0001x1 + 1.00x2 = 1.00 1.00x1 + 1.00x2 = 2.00 usando em todas operações três dígitos significativos. Resolver o mesmo sistema linear pelo método de Eliminação de Gauss com pivotamento parcial, usando em todas as operações três dígitos significativos.


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Consideremos o sistema Ax=b em que A é uma matriz quadrada n x n.

Objectivo do Método: Eliminar os elementos aij de forma a obter um sistema equivalente com uma matriz triangular superior. Depois bastará usar substituições sucessivas para chegarmos à solução pretendida.

O método consiste em n-1 passos, onde construimos elementos a(k+1)ij a partir dos elementos a(k)ij considerando como [a(1)ij] a matriz inicial.

PASSO k

(para k=1,... n-1)

  • Se o pivot a(k)kk=0 então há que efectuar troca de linhas.
  • Se a(k)kk=/= 0 calculamos 
mik=a(k)ik / a(k)kk

i = k+1,... ,n

a(k+1)ij=a(k)ij - mika(k)kj

i, j = k+1, ..., n

b(k+1)i=b(k)i - mikb(k)k

i = k+1, ..., n

No final dos n-1 passos obtemos o sistema triangular superior equivalente:

 


que se pode resolver facilmente por substituição ascendente:

 

Armazenando os coeficientes mik podemos obter uma factorização da matriz A na forma:

 


caso não sejam efectuadas trocas de linhas.

Caso existam trocas de linhas, a factorização é da forma P A = L U em que P é uma matriz de permutação. Ao resolver o sistema obteriamos 

L U x = P b

Teorema : 
A factorização A = L U em que

L é uma matriz triangular inferior com diagonal principal unitária

U é uma matriz triangular superior 
é obtida de forma única se os pivots verificarem a(k)kk =/= 0.

Consideremos o sistema Ax=b em que A é uma matriz quadrada n x n.

Objectivo do Método: Eliminar os elementos aij de forma a obter um sistema equivalente com uma matriz triangular superior. Depois bastará usar substituições sucessivas para chegarmos à solução pretendida.

O método consiste em n-1 passos, onde construimos elementos a(k+1)ij a partir dos elementos a(k)ij considerando como [a(1)ij] a matriz inicial.

PASSO k

(para k=1,... n-1)

  • Se o pivot a(k)kk=0 então há que efectuar troca de linhas.
  • Se a(k)kk=/= 0 calculamos 
mik=a(k)ik / a(k)kk

i = k+1,... ,n

a(k+1)ij=a(k)ij - mika(k)kj

i, j = k+1, ..., n

b(k+1)i=b(k)i - mikb(k)k

i = k+1, ..., n

No final dos n-1 passos obtemos o sistema triangular superior equivalente:

 


que se pode resolver facilmente por substituição ascendente:

 

Armazenando os coeficientes mik podemos obter uma factorização da matriz A na forma:

 


caso não sejam efectuadas trocas de linhas.

Caso existam trocas de linhas, a factorização é da forma P A = L U em que P é uma matriz de permutação. Ao resolver o sistema obteriamos 

L U x = P b

Teorema : 
A factorização A = L U em que

L é uma matriz triangular inferior com diagonal principal unitária

U é uma matriz triangular superior 
é obtida de forma única se os pivots verificarem a(k)kk =/= 0.

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Mabel Costa

Há mais de um mês

não sei, espero ter ajudado.

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