Métodos II

Vamos considerar M(x,y) = 9x² + y - 1 e N(x,y) = x - 4y

Vamos denotar My a derivada parcial de M em relação a y e Nx a derivada parcial de N em relação a x. 

My = 1 e Nx = 1. Como My = Nx, a EDO é exata.

Note que Fx = M(x,y) =  9x² + y - 1 (1)  e que Fy = N(x,y) = x - 4y (2)

integrando (1) em relação a x, temos F(x,y) = 3x³ + xy + x + g(y) (esta g(y) é uma função que depende só de y, logo é constante em relação a x) 

Derivando a função F(x,y) encontrada em relação a y, temos Fy = x + g'(y)  (3)

Por (2) e por (3) concluimos que x - 4y = x + g'(y), logo, g'(y) = -4y e integrando em relação a y, temos g(y) = -2y² + c

Assim, F(x,y) = 3x³ + xy + x - 2y² + c. Outra forma de escrever isso é 3x³ + xy + x - 2y² = c.

Esta é a solução geral. Falta substituir o ponto dado no enunciado para determinar o valor de c. Assim, substituindo x = 1 e y = 0 temos 3 + 1 = c, logo c = 4, de modo que a solução do problema será

3x³ + xy + x - 2y² = 4.

Olá!

A equação pedida é:

\(\left(9x^2+y−1\right)dx+\left(x−4y\right)dy=0\)

Esta é uma EDO exata. Vamos iniciar divindo tudo por dx:

\(9x^2+y-1+\left(x-4y\right)\frac{dy}{dx}=0\)

A EDO na sua forma exata é do tipo:

\(M\left(x,\:y\right)+N\left(x,\:y\right)y'=0\)

Tem-se então que:

\(\Psi _x\left(x,\:y\right)=M\left(x,\:y\right)=9x^2+y-1\\\:\quad \Psi _y\left(x,\:y\right)=N\left(x,\:y\right)=x-4y\)

Agora encontraremos \(Ψ\left(x,\:y\right)\) integrando \(\Psi =\int N\left(x,\:y\right)dy\):

\(\int \:Ndy=\int \:x-4ydy\)

Que resulta em:

\(\int \:x-4ydy=xy-2y^2+C\)

Agora, trocaremos c por uma constante como uma função de x:

\(Ψ\left(x,\:y\right)=xy-2y^2+η\left(x\right)\)

Onde temos que:

\(\Psi _x=M\left(x,\:y\right)=9x^2+y-1\)

Para resolver e encontrar a variável constante como função de x, devemos comparar:

\(\left(xy-2y^2+η\left(x\right)\right)\)

com

\(9x^2+y-1\)

Que resultará em:

\(η\left(x\right)=3x^3-x+c_1\)

Resultando portanto em:

\(Ψ\left(x,\:y\right)=xy-2y^2+3x^3-x+c_1\)

Por outro lado, temos:

\(Ψ\left(x,\:y\right)=c_2\)

Combinando agora as duas constantes, teremos:

\(xy-2y^2+3x^3-x+c_1=c_2\\ xy-2y^2+3x^3-x=c_1\)

Isolando y, teremos 2 soluções possíveis:

\(y_1=\frac{1}{4}\left(x-\sqrt{-8c_1+24x^3+x^2-8x}\right)\\\\y_2=\frac{1}{4}\left(\sqrt{-8c_1+24x^3+x^2-8x}+x\right)\)

Como o exercício estabelece que y(1) = 0, observe que a segunda equação não satisfaz a esta condição. A resposta portanto é:

\(y=\frac{1}{4}\left(x-\sqrt{-c_1+24x^3+x^2-8x}\right)\)