Pela definição, qual a derivada de f(x)= raiz cubica de x para f'(1)

Notações para facilitar. L=lim h=Δx

f(x)=³√x

f'(x)=L ³√(x+h)-³√(x)

OBS: O produto notavel que vai utilizar para tirar essa raiz é (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²) vamos pegar o conjugado (a²+ab+b²) e multiplicar no denominador e numerador.

 ³√(x+h)-³√(x) . ³√(x+h)²+³√(x+h).³√(x)+³√(x)² = x+h-x = h

f'(x)=L h . 1/h . ³√(x+h)²+³√(x+h).³√(x)+³√(x)²  (o h vai cortar com o h, e vai virar 1 o numerador)

f'(x)= L 1/³√(x+h)²+³√(x+h).³√(x)+³√(x)² (agora aplica o limite)

f'(x)= 1/3.³√(x)² (Essa é a derivada, agora só falta substituir o x por 1)

f'(1)=1/3.³√(1)² = 1/3

³√x = x^1/3

derivando x^1/3:

1/3*x^-2/3
 p/ x=1

1/3*(1)^-2/3 = 1/3

Miltiplica e divide por (X+H)^(2/3)+(X.(X+H))^(1/3)+(X)^(2/3)... desse modo o númerador irá ficar igual a H e poderá ser cortado com o H do denominador, sobrando somente 1/[(X+H)^(2/3)+(X.(X+H))^(1/3)+(X)^(2/3)]. Agora é só fazer o limite de quando H tende da expressão anterior e ver quanto é a derivada de 1. Espero ter ajudado, quequer duvida só pergutar :)