1) Mostre que a função F(X,Y) = ln(sqrt(x^2+y^2)) satisfaz à equação de Laplace bidimensional ((∂)^(2)f)/(∂ x^(2)) +((∂)^

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Diferencial e Integral.

Dada a função \(f(x,y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})\), queremos mostrar que ela satisfaz a Equação Bidimensional de Laplace, exposta abaixo:

\(\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}=0\)

Para tanto, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função \(f(x,y)\), fazendo isso, resulta que:

\(\begin{align} \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}&=\dfrac{\partial^2(\ln(\sqrt{x^2+y^2})}{\partial x^2} \\&=\dfrac{\partial\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2\cdot x\right)}{\partial x} \\&=\dfrac{\partial \left(\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)}{\partial x} \\&=\dfrac{1\cdot(x^2+y^2)-x\cdot(2\cdot x)}{(x^2+y^2)^2} \\&=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} \end{align}\)

\(\begin{align} \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}&=\dfrac{\partial^2(\ln(\sqrt{x^2+y^2})}{\partial y^2} \\&=\dfrac{\partial\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2\cdot y\right)}{\partial y} \\&=\dfrac{\partial \left(\dfrac{y}{x^2+y^2}\right)}{\partial y} \\&=\dfrac{1\cdot(x^2+y^2)-y\cdot(2\cdot y)}{(x^2+y^2)^2} \\&=\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \end{align}\)

Substituindo os resultados na Equação Bidimensional de Laplace, obtém-se que:

\(\begin{align} \dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2f(x,y)}{\partial y^2}&=0 \\\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+\dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}&=0 \\\dfrac{(y^2-x^2)+(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}&=0 \\\dfrac{0}{(x^2+y^2)^2}&=0 \\0&=0 \end{align}\)

Portanto, está verificado que a função \(f(x,y)=\ln(\sqrt{x^2+y^2})\) satisfaz a Equação Bidimensional de Laplace.