infimo e supi

Precisamos verificar duas coisas para b ser sup X:
i) b é cota superior (outro possível é majorante) de X
ii) b é a menor das cotas superiores de X

i) pela definição de intervalo aberto, temos que y <= b, para qualquer y em X (y é menor ou igual a b)
ii) para provar que b é a menor cota superior, suponha que exista outra cota superior c = b - u para algum u > 0 e que c seja sup X (recomendo escrever  'epsilon' em vez de 'u'). Note que c < b.
Mas, c < (c+b)/2 = c/2 + b/2 < b/2 + b/2 = b
E com isso, achamos um outro elemento de X, a saber (c+b)/2 (pois é menor que b), e maior que c, logo, c não pode ser sup X independente do u escolhido, e isso nos leva a concluir que b = sup X.

< o ínfimo usa um argumento 'simétrico' >