\(Integral\:de\:logaritmo\:neperiano:\) \(Método\:de\:substituição\:de\:Varialvel\:simples\)
\(\int \:ln\:dx\) → \(ln (1)dx\) → \(\int \:ln\:dx=0\)
\(Derivada\:de\:\left(ln\:u\right)=\:\frac{1}{u}\cdot u'\) → \(\left(ln\:u\right)=\:\frac{1}{1}\cdot 0\) → \(1\cdot 0=0\)
\(u\:=\:1\)
\(u'\:=\:0\)
Neste exercício, será realizada a seguinte integral:
\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx\)
Será utilizado o método de integração por partes. Esse método é definido pela seguinte equação:
\(\Longrightarrow \int u \space dv = uv - \int v\space du\) \((I)\)
Sendo \(u = \ln x\) e \(dv=dx\), tem-se que:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {d \over dx} (\ln x) \\ v=\int dx \end{matrix} \right.\) \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {1 \over x} \\ v=x \end{matrix} \right.\) \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du} = {1 \over x} \space dx \\ v=x \end{matrix} \right.\)
Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), a equação resultante é:
\(\Longrightarrow \int u \space dv = uv - \int v\space du\)
\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = \ln x \cdot x - \int x \space ({1 \over x}\space dx)\)
\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x\ln x - \int dx\)
\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x\ln x - x + c\)
\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x(\ln x - 1) + c\)
Sendo \(c\) uma constante qualquer.
Concluindo, a integral do logaritmo neperiano é:
\(\Longrightarrow \fbox {$ \int \ln x \space dx = x(\ln x - 1) + c $}\)
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