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Como integrar um logaritimo neperiano

Cálculo II

UNINASSAU


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Neste exercício, será realizada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx\)


Será utilizado o método de integração por partes. Esse método é definido pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow \int u \space dv = uv - \int v\space du\)   \((I)\)


Sendo \(u = \ln x\) e \(dv=dx\), tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {d \over dx} (\ln x) \\ v=\int dx \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {1 \over x} \\ v=x \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du} = {1 \over x} \space dx \\ v=x \end{matrix} \right.\)


Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int u \space dv = uv - \int v\space du\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = \ln x \cdot x - \int x \space ({1 \over x}\space dx)\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x\ln x - \int dx\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x\ln x - x + c\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x(\ln x - 1) + c\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.


Concluindo, a integral do logaritmo neperiano é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int \ln x \space dx = x(\ln x - 1) + c $}\)

Neste exercício, será realizada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx\)


Será utilizado o método de integração por partes. Esse método é definido pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow \int u \space dv = uv - \int v\space du\)   \((I)\)


Sendo \(u = \ln x\) e \(dv=dx\), tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {d \over dx} (\ln x) \\ v=\int dx \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {1 \over x} \\ v=x \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du} = {1 \over x} \space dx \\ v=x \end{matrix} \right.\)


Substituindo os termos conhecidos na equação \((I)\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \int u \space dv = uv - \int v\space du\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = \ln x \cdot x - \int x \space ({1 \over x}\space dx)\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x\ln x - \int dx\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x\ln x - x + c\)

\(\Longrightarrow \int \ln x \space dx = x(\ln x - 1) + c\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.


Concluindo, a integral do logaritmo neperiano é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int \ln x \space dx = x(\ln x - 1) + c $}\)

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Abner Giroto

Há mais de um mês

\(Integral\:de\:logaritmo\:neperiano:\) \(Método\:de\:substituição\:de\:Varialvel\:simples\)

\(\int \:ln\:dx\)  →  \(ln (1)dx\)  →   \(\int \:ln\:dx=0\)

 \(Derivada\:de\:\left(ln\:u\right)=\:\frac{1}{u}\cdot u'\)   →  \(\left(ln\:u\right)=\:\frac{1}{1}\cdot 0\)  →  \(1\cdot 0=0\)

\(u\:=\:1\)

\(u'\:=\:0\)

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas