No nosso pequeno estudo sobre taxa de variação de funções, vamos tomar duas funções de exemplo:

• \(f(x)=2x+1\)
• \(g(x)= –x²+1.\)

A taxa de variação de uma função ff num certo intervalo [a,b][a,b] é o número TT dado por:

\(T=f(b)-f(a)/b-a\)

Vamos tomar nossa função \(f(x)=2x+1\) de exemplo e calcular sua taxa de variação no intervalo [0,4]para estudar seu comportamento. Com relação ao intervalo [0,4][0,4], pense no 00 como o ponto de partida e o no 44 como ponto de chegada.

\(T=f(4)-f(0)/4-0\)

\(T=2\)

O resultado acima nos traz algumas informações importantes. A mais importante delas é sem dúvida esta:

• A partir do 0 até o 4, a cada uma unidade, o valor da função aumenta em média 2 unidades.

A derivada é uma taxa de variação.

Mais especificamente, a derivada é a taxa de variação pontual de uma função. O significado da palavra “pontual” ao qual estamos nos referindo é bastante específico, vamos refletir um pouco.

Considere uma certa função ff e sua taxa de variação TT num intervalo [a–h,a+h]⊂D(f)[a–h,a+h]⊂D(f), com h>0h>0.

Repare que, quanto mais próximo hh estiver de 00, mais próximo de aa os valores do intervalo ficarão.

E cada vez mais sua taxa de variação terá um significado “local”, em torno de a.

Pois bem, a derivada da função ff em aa é o valor da taxa de variação ao fazermos h→0 h→0  (leia-se “h tender a zero”).

Veja novamente a definição de derivada, agora no ponto aa. Repare que estamos fazendo limite exatamente da taxa de variação da função, como definimos logo atrás.

Agora que sabemos que a derivada é uma taxa de variação, fica mais fácil de entender e interpretar o significado por trás da definição. Todas as afirmações abaixo são verdadeiras. Reflita.

• f′(a)>0 f′(a)>0 : existe uma vizinhança de aa em que ff é crescente.
• f′(a)<0 f′(a)<0 : existe uma vizinhança de aa em que ff é decrescente.
• Quanto maior |f′(a)||f′(a)|, mais expressivo é a variação da função em torno de aa.