para x é maior que 0, determine a soluçao do problema de valor inicial x2 y + xy=1 com y(1)=2

anexa a imagem original da pergunta

Seja

\(x^2 y + xy=1\)

Vamos colocar  y em evidência:

\(x^2 y + xy=1\\ y(x^2+x)=1\)

Vamos isolá-lo:

\(y(x^2+x)=1\\ y=\frac{1}{x^2+x}\)

Para \(y=2\):

\(2x^2+2x-1=0\)

Resolvendo por bhaskara:

\(x_{1,\:2}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot \:2\left(-1\right)}}{2\cdot \:2}\\ x=\frac{-2+\sqrt{2^2-4\cdot \:2\left(-1\right)}}{2\cdot \:2}:\quad \frac{\sqrt{3}-1}{2}\\ x=\frac{-2-\sqrt{2^2-4\cdot \:2\left(-1\right)}}{2\cdot \:2}:\quad -\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)

As soluções são : \(\boxed{(x=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\:x=-\frac{1+\sqrt{3}}{2})}\)