Um triângulo equilatero tem todos os lados iguais. Isso significa que a distância do vértice \(A\) até o \(B\) deve ser igual a distância de \(A\) até \(B\) que deve ser igual a distância de \(B\) a \(C\) , ou seja:

\(AB=AC=BC\)

Vamos então calcular a distância entre \(AC\):

\(D_{AC}=\sqrt{(10-2)^2+(0-a)^2+(6-8)^2}\\ D_{AC}=\sqrt{(8)^2+(-a)^2+(-2)^2}\\ D_{AC}=\sqrt{64+a^2+4}\\ D_{AC}=\sqrt{68+a^2}\\ \)

Agora, vamos calcular a distância entre \(AB\):

\(D_{AB}=\sqrt{(8-2)^2+(a-a)^2+(-2-8)^2}\\ D_{AB}=\sqrt{(6)^2+(0)^2+(-10)^2}\\ D_{AB}=\sqrt{36+100}\\ D_{AB}=\sqrt{136}\\ \)

Igualando 

\(\sqrt{68+a^2}=\sqrt{138}\\ 68+a^2=138\\ a^2=70\\ \boxed{a=\sqrt{70} }\)