Para provar a unicidade do limite, devemos realizar  os seguintes cálculos abaixo:

\(\[\begin{align} & n\ge {{n}_{1}}=a-\varepsilon \\ & n<{{u}_{n}} \\ & n<a+\varepsilon \\ & \\ & n\ge {{n}_{2}}=b-\varepsilon \\ & n<{{u}_{n}} \\ & n<b+\varepsilon \\ & \\ & {{u}_{n}}<a+\varepsilon \\ & {{u}_{n}}<b+\varepsilon \\ & \frac{a+b}{2}=b-\varepsilon \\ \end{align}\] \)

Portanto, provamos que ocorre a unicidade do limite.