É uma equação exata, logo, de primeira ordem.

É exata, pois:

\(\frac{\partial (2x \tan y + 5)}{\partial y} = 2x \sec^2 y = \frac{\partial (x^2 \sec ^2 y)}{\partial x}\)

Não havendo familiaridade com a resolução de equações exatas, é recomendável o estudo prévio do assunto.

Equações exatas são da forma:

\(P dx + Q dy = 0\)

E a solução advém de:

\(\int P dx = \int Q dy = k, \ k \in \mathbb{R}\)

\(\int P dx = x^2 \tan y + 5x + h(y)\)

Derivando a integral anterior em relação a y, devemos obter Q:

\(x^2 \sec^2 y + h'(y) = x^2 \sec^2 y \\ h'(y) = 0 \\ h(y) = K, K \in \mathbb{R}\)

Assim, a solução final será:

\(x^2 \tan y + 5x + h(y) = k \\ x^2 \tan y + 5x + K= k \\ x^2 \tan y + 5x = k \\ \tan y = \frac{(k - 5x)}{x^2} \\ y(x) = \arctan \frac{(k - 5x)}{x^2}, \ k \in \mathbb{R}\)

No passo anterior, absorvemos duas constantes em apenas uma. A condição inicial dará conta de especificá-la. A princípio, essa é a solução geral da equação.

Para \(y(0) = 0\), utilizando a terceira linha das equações anteriores:

\(0^2 \tan 0 + 5 \cdot 0 = k \\ k = 0\)

Portanto, as respostas pedidas são:

a) Primeira ordem

b) A solução geral é dada por: \(\boxed{y(x) = \arctan \frac{(k - 5x)}{x^2}}\)

c) A solução particular para a CI dada é: \(\boxed{y(x) = \arctan \frac{-5x}{x^2}}\)