Dados os pontos A = (1, −2, 3), B = (5, 2, 5) e M = (−2, 4, 9). Obtenha as coordenadas dos pontos C e D, tal que A, B, C, D (nesta ordem) seja um paralelogramo, onde M é o ponto médio do segmento AC.
Sabemos que M é ponto médio de AC, temos então:
\(M={1\over2}(A+C)\Rightarrow C = 2M-A=(-5,10,15)\)
Como temos um paralelogramo, temos as seguintes igualdades vetoriais:
\(\vec{AB}=\vec{DC}\\ \vec{BC}=\vec{AD}\)
Precisamos de apenas uma delas para finalizar o exercício. Vamos usar a primeira:
\(\vec{AB}=\vec{DC}\)
Escrevendo em função dos pontos já obtidos, temos:
\(B-A=C-D\Rightarrow D=A-B+C\)
Substituindo os valores, temos:
\(D=(-9,6,13)\)
Concluímos, portanto, que os dois pontos faltantes são:
\(\boxed{C = (-5,10,15)\\D=(-9,6,13)}\)
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