Como calcular esse limite?

\(\lim_{x \to 1} \frac {\sqrt[3]{x} - 1}{x-1} * \frac {\sqrt[3]{x} + 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x-1)(\sqrt[3]{x} + 1)}=\lim_{x \to 1}\frac{1}{\sqrt[3]{x} + 1}=\frac{1}{2}\)

1. Multiplica pelo conjugado

2.Simplifica

3.Aplica o limite

Substituindo o valor limite \(x=1\) na expressão, ocorre uma indeterminaçao do tipo \({0 \over 0}\). Portanto, pode-se usar a Regra de L'Hôpital, cuja equação é:

\(\Longrightarrow \lim \, {f(x) \over g(x) } = \lim \, {f'(x) \over g'(x) }\)

Aplicando essa regra, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1} \lim \, { \sqrt[3] {x} - 1 \over x-1} = \underset{x \to 1} \lim \, { (x^{1/3} - 1)' \over (x-1)'}\)

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1} \lim \, { \sqrt[3] {x} - 1 \over x-1} = \underset{x \to 1} \lim \, { {1 \over 3}x^{{1 \over 3}-1} - 0 \over 1-0}\)

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1} \lim \, { \sqrt[3] {x} - 1 \over x-1} = \underset{x \to 1} \lim \, {1 \over 3}x^{-{2 \over 3}}\)

Finalmente, substituindo \(x=1\), o resultado final é:

\(\Longrightarrow \underset{x \to 1} \lim \, { \sqrt[3] {x} - 1 \over x-1} = {1 \over 3}\cdot (1)^{-{2 \over 3}}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \underset{x \to 1} \lim \, { \sqrt[3] {x} - 1 \over x-1} = {1 \over 3} $}\)