Como provar que existe um espaco vetorial

Seja V é um conjunto não vazio e suponha que existem duas operações denidas em V, uma operação somma (denotada +) que a cada par de elementos u, v ∈ V associa un único elemento de V denotado por u + v, e uma operação chamada de multiplicação por escalar que a cada u ∈ V e todo λ ∈ R associa un único elemento de V denotado por λ · u. Dizemos que o triple (V, +, ·) é um espaço vetorial se as seguintes condições são satisfeitas: P1 u + v = v + u para todo u, v ∈ V, (propriedade comutativa) P2 u + (v + w) = (u + v) + w para todo u, v, w ∈ V, (propriedade associativa) P3 existe um elemento 0 ∈ V tal que 0 + u = u para todo u ∈ V, P4 para cada u ∈ V existe v ∈ V tal que u + v = 0, P5 λ · (µ · u) = (λµ) · u para todo u ∈ V e λ, µ ∈ R, P6 (λ + µ) · u = λ · u + µ · u para todo u ∈ V, λ, µ ∈ R, P7 λ(u + v) = λ · u + λ · v para todo u, v ∈ V e λ ∈ R, P8 1 · u = u para todo u ∈ V.

Um exemplo obvio de espaço vetorial é o conjunto R munido com as operações + e · usuais.

Outro exemplo: Seja R n o conjunto formado por todas as n-uplas ordenadas de números reais. Lembre que uma n-upla de números reais é uma ordenação de números reais da forma (x1, . . . , xn). No conjunto R n denimos a soma de n-uplas e a multiplicação escalar por (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn), λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn).