Se \(\vec{u}\) é uma combinação linear de \(\vec{v}\) e \(\vec{w}\), os três vetores são linearmente dependentes, o que faz com que o teterminante formado pelos três vetores seja nulo:

\(\begin{vmatrix} 1&2&2\\t-1&1&t-2\\t+1&t-1&2 \end{vmatrix}=0\)

Calculando o determinante, temos:

\(1\cdot1\cdot2+2(t-2)(t+1)+2(t-1)(t-1)-2\cdot1(t+1)-1(t-2)(t-1)-2\cdot2(t-1)=0\)

Efetuando os produtos, temos:

\(2+2(t^2-t-2)+2(t^2-2t+1)-2(t+1)-(t^2-3t+2)-4(t-1)=0\)

Juntando os termos de mesmo grau, temos:

\(3t^2-9t=0\)

Fatorando, temos:

\(3t(t-3)=0\Rightarrow \{t=0\ \text{ ou }\ t=3\}\)

Portanto os dois valores de que tornam os vetores linearmente dependentes são:

\(\boxed{t\in\{0,3\}}\)