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Como provar que a integral de uma função genérica que depende de duas variáveis não depende do caminho ?

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Seja \(C\) uma curva suave descrita para curva parametrizada \(\vec{r}(t), \ a \leq t \leq b\). Seja \(f\) uma função diferenciável de duas variáveis com gradiente \(\nabla f \) contínuo em \(C\). Queremos provar:

\(\int_C \nabla f \cdot d \vec{r} = f(\vec{r}(b) - \vec{r}(a))\)

A nossa integral de linha pode ser transformada da seguinte forma:

\(\int_C \nabla f \cdot d \vec{r} = \int_a^b \nabla f(\vec{r} (t)) \vec{r}'(t) dt \\ \int_C \nabla f \cdot d \vec{r} = \int_a^b \left( \frac{\partial f}{\partial t} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t} \frac{dz}{dt} \right) dt \\ \int_C \nabla f \cdot d \vec{r} = \int_a^b \frac{d}{dt} f(\vec{r}(t)) dt\)

Pelo teorema fundamental do cálculo, teremos:

\(\boxed{\int_C \nabla f \cdot d \vec{r} = f(\vec{r}(b) - \vec{r}(a)), cqd}\)

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