Para provarmos que um limite de duas variáveis não existe, vamos realizar os cálculos abaixo:
\(\begin{align} & \underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{A}^{2}}y{{A}^{2}}}{x{{A}^{2}}-y{{A}^{2}}} \\ & \\ & {{c}_{1}}(t)=(t,0) \\ & \underset{t\to (0)}{\mathop{\lim }}\,f({{c}_{1}}(t))=0 \\ & \\ & {{c}_{2}}(t)=\sqrt{t{{A}^{2}}+{{t}^{4}},t} \\ & \\ & \underset{t\to (0)}{\mathop{\lim }}\,f({{c}_{1}}(t))=+\propto \\ & \\ & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{x}^{2}}+1}=\frac{0}{{{0}^{2}}+1} \\ & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{x}^{2}}+1}=0 \\ & \\ & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{x}^{4}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2} \\ \end{align}\ \)
Portanto, como os limites são diferentes, concluimos que o limite não existe.
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