Verifique se |u| é combinação linear de |v|, |w|.

Para que \(|u|=(1,-1,3)\) seja combinação linear de \(|v| = (2,1,3)\) e \(|w| = (-1,-1,4)\), a seguinte equação deve ser atendida:

\(\Longrightarrow |u| = a|v| + b|w|\)

Sendo \(a\) e \(b\) duas constantes reais.

Agora, vamos calcular \(a\) e \(b\) caso existam. A equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (1,-1,3) = a(2,1,3) + b(-1,-1,4)\)

\(\Longrightarrow (1,-1,3) = (2a,a,3a) + (-b,-b,4b)\)

\(\Longrightarrow (1,-1,3) = (2a-b,a-b,3a+4b)\)

Com isso, tem-se o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2a-b=1& (I) \\ a-b=-1 & (II)\\ 3a + 4b=3 & (III) \end{matrix} \right.\)

Subtraindo as equações \((I)\) e \((II)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow (2a-b)-(a-b) = 1-(-1)\)

\(\Longrightarrow (2a-a)+(-b+b) = 2\)

\(\Longrightarrow \underline {a=2}\)

Pela equação \((I)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 2a-b= 1\)

\(\Longrightarrow 2\cdot 2 -b= 1\)

\(\Longrightarrow b=4-1\)

\(\Longrightarrow \underline {b=3}\)

Agora, vamos conferir se os valores de \(a\) e \(b\) atendem à equação \((III)\).

\(\Longrightarrow 3a + 4b=3 \)

\(\Longrightarrow 3\cdot 2 + 4\cdot 3=3 \)

\(\Longrightarrow 18=3 \)     \(\mathrm {(Falso)}\)

Como o sistema de equações não foi atendido, \(|u|=(1,-1,3)\) não é combinação linear de \(|v| = (2,1,3)\) e \(|w| = (-1,-1,4)\).

Verifique se o vetor u é combinação linear de v e w: 
v = (9, −12, −6), w = (−1, 7, 1) e u = (−4, −6, 2);

 | 9   -12   -6 | 
 |-1      7    1 | = determat(A) = 0 
 | -4   -6     2 | 

⇔ o vetor u é combinação linear de v e w 
⇔ ∃ (a ; b) ∈ ℝ²   |   u = a.v + b.w 

-4 =    9.a - b 
-6 = -12.a + 7.b 
 2 =   -6.a + b 
  ▬▬▬ 
a = - 2/3 
b = -2