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Questão de Calculo I (Derivada)

Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de 3 km sobre uma linha reta que irá passar diretamente acima de um observador no chão. Num dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de pi/ 3 rad e está aumentado a uma taxa de 1 60 rad/s. Ache a velocidade do avião.

💡 2 Respostas

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Wilson Pinheiro

R: 1/194 (3sqrt97+97) m/s ~ 0,65 m/s 

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Especialistas PD

O ângulo varia de acordo com o tempo. Então, em um determinado instante inicial, teremos:

\(α(t₀) = 1/3π rad\)

Nesse mesmo instante, a velocidade desse ângulo é de:

\(α'(t₀) = 1/60 rad/s \)

A altura do avião é constante.

h = 3 km ou 3000 m
Represento a distância horizontal percorrida pelo avião por x. Esse valor também varia de acordo com o tempo. Logo, temos: x(t).

Assim, a derivada dessa função é justamente a velocidade do avião. Logo:

\(V(t₀) = x'(t₀) \)


Na figura, perceba que temos um triângulo retângulo. Usando a relação tangente, temos:

\(tg(α(t₀)) = x(t)/h\)

Mas como temos que achar a derivada, derivamos a equação.

\(d/dt tg(α(t)) = d/dt x(t)/h\)

A derivada da tangente é a secante ao quadrado. Logo:

\(sec²(α(t)) · α'(t) = x'(t)/h\)

Queremos descobrir o x' para t₀. Então, temos:

\(sec²(α(t₀)) · α'(t₀) = x'(t₀)/h\)

\(x'(t₀) = sec²(α(t₀)) · α'(t₀) · h\)

Substituindo os valores informados, temos:

\(x'(t₀) = sec²(1/3π) · 1/60 · 3000\\ x'(t₀) = 4 · 1/60 · 3000\\ x'(t₀) = 4 · 50\\  x'(t₀) = 200 m/s\)


Resposta: Portanto, a velocidade do avião é de 200 m/s.

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