Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de 3 km sobre uma linha reta que irá passar diretamente acima de um observador no chão. Num dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de pi/ 3 rad e está aumentado a uma taxa de 1 60 rad/s. Ache a velocidade do avião.
O ângulo varia de acordo com o tempo. Então, em um determinado instante inicial, teremos:
\(α(t₀) = 1/3π rad\)
Nesse mesmo instante, a velocidade desse ângulo é de:
\(α'(t₀) = 1/60 rad/s \)
A altura do avião é constante.
h = 3 km ou 3000 m
Represento a distância horizontal percorrida pelo avião por x. Esse valor também varia de acordo com o tempo. Logo, temos: x(t).
Assim, a derivada dessa função é justamente a velocidade do avião. Logo:
\(V(t₀) = x'(t₀) \)
Na figura, perceba que temos um triângulo retângulo. Usando a relação tangente, temos:
\(tg(α(t₀)) = x(t)/h\)
Mas como temos que achar a derivada, derivamos a equação.
\(d/dt tg(α(t)) = d/dt x(t)/h\)
A derivada da tangente é a secante ao quadrado. Logo:
\(sec²(α(t)) · α'(t) = x'(t)/h\)
Queremos descobrir o x' para t₀. Então, temos:
\(sec²(α(t₀)) · α'(t₀) = x'(t₀)/h\)
\(x'(t₀) = sec²(α(t₀)) · α'(t₀) · h\)
Substituindo os valores informados, temos:
\(x'(t₀) = sec²(1/3π) · 1/60 · 3000\\ x'(t₀) = 4 · 1/60 · 3000\\ x'(t₀) = 4 · 50\\ x'(t₀) = 200 m/s\)
Resposta: Portanto, a velocidade do avião é de 200 m/s.
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