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Como determinar a derivada de : f(x) = 3^x?


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Primeiro vamos aplicar a seguinte propriedade:

\(a^b=e^{b\ln \left(a\right)}\)

Assim

\(3^x=e^{x\ln \left(3\right)}\)

portanto:

\(\frac{d}{dx}\left(e^{x\ln \left(3\right)}\right)\)

usando a regra da cadeia: \(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\) com \(f=e^u,\:\:u=x\ln \left(3\right)\) temos:

\(=\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(3\right)\right)\)

mas:

\(\frac{d}{du}\left(e^u\right)=e^u\\ \frac{d}{dx}\left(x\ln \left(3\right)\right)=\ln \left(3\right)\)

Logo

\(=e^u\ln \left(3\right)=e^{x\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)\)

Mas: \(e^{x\ln \left(3\right)}=3^x\)

assim

\(\boxed{\frac{d}{dx}\left(3^x\right)=\ln \left(3\right)\cdot \:3^x}\)

 

Primeiro vamos aplicar a seguinte propriedade:

\(a^b=e^{b\ln \left(a\right)}\)

Assim

\(3^x=e^{x\ln \left(3\right)}\)

portanto:

\(\frac{d}{dx}\left(e^{x\ln \left(3\right)}\right)\)

usando a regra da cadeia: \(\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}\) com \(f=e^u,\:\:u=x\ln \left(3\right)\) temos:

\(=\frac{d}{du}\left(e^u\right)\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(3\right)\right)\)

mas:

\(\frac{d}{du}\left(e^u\right)=e^u\\ \frac{d}{dx}\left(x\ln \left(3\right)\right)=\ln \left(3\right)\)

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\(=e^u\ln \left(3\right)=e^{x\ln \left(3\right)}\ln \left(3\right)\)

Mas: \(e^{x\ln \left(3\right)}=3^x\)

assim

\(\boxed{\frac{d}{dx}\left(3^x\right)=\ln \left(3\right)\cdot \:3^x}\)

 

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Canal

Há mais de um mês

Vamos primeiro escrever a funçao da seguinte forma: Y= f(x) Y= 3^x Agora aplique logaritmo em ambos os lados: lnY=xln3 Agora derive: 1/Y dY/dx = ln3 dY/dx = Yln3 Como Y= 3^x logo dY/dx = (3^x)*ln3

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas