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Transformações lineares

Sejam S : V → W e T : V → W transformações lineares. Mostre que S + T e aT, para todo a ∈ R, são lineares. Conclua que o conjunto de todas as transformações lineares L(V,W) é um espaço vetorial sobre R

Álgebra

IFS


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Há mais de um mês

Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V toW é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:

  1. Para quaisquer u,vinU: F(u+v)=F(u)+F(v).

  2. Para qualquer kinR e qualquer vinU: F(kv)=k.F(v).

Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:VtoW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,vinU e quaisquer a,binR se tem que

F(au+bv) = aF(u) + bF(v)

Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V toW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v inU e qualquer b inR se tem que

F(u+bv) = F(u) + bF(v)

Graficamente temos algo como:

fig

Observações importantes:

  1. Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.

  2. Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.

  3. Se F:V toW é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W.

  4. Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.

Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F:V toW é uma aplicação linear se satisfaz às duas propriedades seguintes:

  1. Para quaisquer u,vinU: F(u+v)=F(u)+F(v).

  2. Para qualquer kinR e qualquer vinU: F(kv)=k.F(v).

Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F:VtoW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,vinU e quaisquer a,binR se tem que

F(au+bv) = aF(u) + bF(v)

Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V toW é uma aplicação linear se, para quaisquer u,v inU e qualquer b inR se tem que

F(u+bv) = F(u) + bF(v)

Graficamente temos algo como:

fig

Observações importantes:

  1. Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.

  2. Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de operador linear e quando W=R, recebe o nome de funcional linear.

  3. Se F:V toW é uma aplicação linear, então F(0)=0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o segundo 0 é o vetor nulo de W.

  4. Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a propriedade que não é satisfeita.

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