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calculo 1

Determine as constantes a, b, c sabendo que f(x) = ax2 + bx + c, f(0) = 4, f’(1) = 2 e f’(2) = 1
Cálculo IUFPI

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Pode-se escrever o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x) = ax^2 + bx + c \\ f'(x) = 2ax+b \\ f'(x) = 2ax+b \end{matrix} \right.\)   \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(0) = a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c \\ f'(1) = 2a \cdot 1+b \\ f'(2) = 2a \cdot 2+b \end{matrix} \right.\)    \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline {4 = c} &(I) \\ 2 = 2a+b & (II) \\ 1 = 4a+b & (III) \end{matrix} \right.\)


Subtraindo as equações \((II)\) e \((III)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow 2-1 = (2a+b)-(4a+b)\)

\(\Longrightarrow 1 = (2a-4a)+(b-b)\)

\(\Longrightarrow -2a=1\)

\(\Longrightarrow \underline {a=-{1 \over 2} }\)


Substituindo o valor de \(a\) na equação \((II)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 2=2a+b\)

\(\Longrightarrow 2=2\cdot (-{1 \over 2} )+b\)

\(\Longrightarrow 2=-1+b\)

\(\Longrightarrow \underline { b=3 }\)


Portanto, os valores das constantes são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} a=-{1 \over 2} \\ b = 3 \\ c = 4 \end{matrix} \right. $}\)

Pode-se escrever o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x) = ax^2 + bx + c \\ f'(x) = 2ax+b \\ f'(x) = 2ax+b \end{matrix} \right.\)   \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(0) = a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c \\ f'(1) = 2a \cdot 1+b \\ f'(2) = 2a \cdot 2+b \end{matrix} \right.\)    \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline {4 = c} &(I) \\ 2 = 2a+b & (II) \\ 1 = 4a+b & (III) \end{matrix} \right.\)


Subtraindo as equações \((II)\) e \((III)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow 2-1 = (2a+b)-(4a+b)\)

\(\Longrightarrow 1 = (2a-4a)+(b-b)\)

\(\Longrightarrow -2a=1\)

\(\Longrightarrow \underline {a=-{1 \over 2} }\)


Substituindo o valor de \(a\) na equação \((II)\), o valor de \(b\) é:

\(\Longrightarrow 2=2a+b\)

\(\Longrightarrow 2=2\cdot (-{1 \over 2} )+b\)

\(\Longrightarrow 2=-1+b\)

\(\Longrightarrow \underline { b=3 }\)


Portanto, os valores das constantes são:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} a=-{1 \over 2} \\ b = 3 \\ c = 4 \end{matrix} \right. $}\)

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