Como calcular derivada de raiz de x elevada a x ?

Primeiro aplique a regra da exponencial, posteriormente a regra da cadeia e, para encontrar o resultado, subtitua o valor encontrado na expressão montada para a regra da cadeia. 

A derivada de \((\sqrt{x})^x\) é:

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] = {d \over dx} \Big [( x^{1/2})^x \Big ]\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] = {d \over dx}( x^{x \over 2}) \)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] = {d \over dx} \Big (e^{ \ln ( x^{x \over 2}) } \Big )\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] = {d \over dx} \Big (e^{ {x \over 2}\ln x } \Big )\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] =e^{ {x \over 2}\ln x } \cdot {d \over dx}({x \over 2}\ln x)\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] =e^{ {x \over 2}\ln x } \cdot \Big ( {x \over 2} \cdot {d \over dx}(\ln x) + \ln x \cdot {d \over dx}({x \over 2}) \Big )\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] =e^{ {x \over 2}\ln x } \cdot \Big ( {x \over 2}{1 \over x} + \ln x \cdot {1 \over 2} \Big )\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] =e^{ \ln x^{x \over 2} } \cdot \Big ( {1 \over 2}+ {1 \over 2}\ln x \Big )\)

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] =x^{x \over 2} \cdot {1 \over 2}\Big ( 1+ \ln x \Big )\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {d \over dx} \Big [ ( \sqrt{x})^x \Big ] =(\sqrt{x})^{x} \cdot {1 \over 2} ( 1+ \ln x ) $}\)