1. Em uma pa de razao 4, o termo de ordem p é 31 e a soma dos p primeiros termos é 136. Determine p e o primeiro termo da progressao.

aplica a formula padrao

\(r = 4 \\ a_p = 31 \\ S_p = 136\)

Pela fórmula do termo geral, teremos:

\(a_p = a_1 + (p-1) \cdot 4\)

Ou seja:

\(31 = a_1 + (p-1) \cdot 4 \ \ \ [I]\)

Pela fórmula da soma, teremos:

\(S_p = \frac{(a_1 + a_p)p}{2}\)

Ou seja:

\(136 = \frac{(a_1 + 31)p}{2} \ \ \ \ [II]\)

O sistema formado por [I] e [II] pode ser resolvido isolando \(a_1\) em [I] e substituído em [II]. Teremos dois pares de soluções:

\(a_1 = 3, \ p = 8 \\ a_1 = 1, \ p = 8,5\)

Como \(p\) deve ser inteiro, pois conta o número de termos, só é válido:

\(\boxed{a_1 = 3, \ p = 8}\)