Será resolvida a seguinte integral:
\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx\)
Será utilizado o método da integral por partes. Sendo \(u = \arctan x\) e \(dv = x \, dx\), tem-se o seguinte:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {d \over dx}(\arctan x ) \\ v = \int x \, dx \end{matrix} \right.\) \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {du \over dx} = {1 \over 1 +x^2} \\ v = {1 \over 2}x^2 \end{matrix} \right.\) \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} du = {1 \over 1 +x^2}dx \\ v = {1 \over 2}x^2 \end{matrix} \right.\)
Com isso, tem-se a seguinte equação:
\(\Longrightarrow \int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\Longrightarrow \int \arctan x \, (x \, dx) = \arctan x\cdot {1 \over 2}x^2 - \int {1 \over 2}x^2 \, {1 \over 1+x^2}dx\)
\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2}\int {x^2 \over 1+x^2}dx\)
\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2}\int {1+x^2-1 \over 1+x^2}dx\)
Com isso, o resultado final é:
\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} \Big [ \int (1- {1 \over 1+x^2})dx \Big ] \)
\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} (x- \arctan x)\)
\(\Longrightarrow \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}x^2\arctan x - {1 \over 2} x + {1 \over 2} \arctan x\)
\(\Longrightarrow \fbox { $ \int x \arctan x \, dx = {1 \over 2}[(x^2+1)\arctan x - x] $}\)
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