Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear \(y´-2xy=x\)

\(y=-\frac{1}{2}+ce^{{x}^{2}}\)

ou

y=  -  \frac{1}{2}+ce^{{x}^{2}} resposta

pessoal, dá um joinha aí, não esquece.

Esse tipo de equação (linear de primeira ordem) se resolve com fator integrante, isto é, inicialmente multiplicams a equação por um fator integrante:

\( \mu y'-\mu2xy=\mu x \)

Vamos agora assumir que o lado esquerdo da equação é dado ela derivada do produto entre o fator integrante e a solução, isto é:

\({d\over dx}(\mu y)=\mu {dy\over dx}-2\mu xy\)

Mas o lado esquedo pode ser calculado pela regra do produto:

\(\mu {dy\over dx}+y {d\mu\over dx}=\mu {dy\over dx}-2\mu xy\Rightarrow {d\mu\over dx}=-2\mu x\)

Separando as variáveis, temos:

\({d\mu\over\mu}=-2xdx\)

Integrando, temos:

\(\int{d\mu\over\mu}=\int-2xdx\)

Como queremos apenas uma solução do fator integrante, não precisamos da constante aditiva:

\(\ln\mu=-x^2\Rightarrow \mu=e^{-x^2}\)

Como impusemos que o lado esquerdo da equação seja a derivada do produto, temos:

\({d\over dx}(e^{-x^2} y)=e^{-x^2} x\)

Rearranjando e integrando, temos:

\(\int d(e^{-x^2} y)=\int e^{-x^2} x\ dx\)

Fazendo \(u=x^2\Rightarrow du=2xdx\), temos:

\(e^{-x^2} y={1\over2}\int e^{-u} du=-{1\over2}e^{-u}+c\)

Voltando para a variável orginal, temos:

\(e^{-x^2} y=-{1\over2}e^{-x^2}+c\)

Multiplicando por \(e^{x^2}\), temos:

\(\boxed{y=-{1\over2}+ce^{x^2}}\)

ou seja, a alternativa D.