Qual a diferença entre as monarquias constitucional e parlamentarista?

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Não há diferença.

Uma monarquia constitucional, ou parlamentarista, se opõe a monarquia tradicional e a absolutista.

Na monarquia constitucional parlamentarista, o sistema político reconhece um rei eleito ou hereditário como chefe de Estado, mas há uma constituição na qual há a limitação dos poderes do monarca.

Temos então que nesta a chefia de estado é exercida por um monarca, mas a chefia de governo é exercida por um Primeiro-Ministro, por um Presidente do Conselho de Ministros, ou pelo chamado Presidente de Governo, a estes últimos cabendo o encargo do Poder Executivo e direção das políticas internas e externas do país, de acordo com a Constituição.