como resolver essa questão: lim x →-2 x^2-x-6/x^2+x-2

Question

o gabarito é 5/3

Diego s · Answer

limx->-2 (x2-x-6)/(x2+x-2) =

limx->-2 ((x-3)(x+2))/((x+2)(x-1))= "cancelar (x+2) numerador e denominador ficar assim"

limx->-2 (x-3)/(x-1)= "aplicar o limite, ou seja, no caso substituir -2 em todos os x(em cima e em baixo), ficar assim"

= limx->-2 (-2-3)/(-2-1) = (-5)/(-3) "cancelar o sinal negativo" = 5/3

RD Resoluções · Answer

Será resolvido o seguinte limite:

$\Longrightarrow \underset{x \to -2} \lim \, {x^2 -x- 6 \over x^2 + x-2}$

1. Primeiro, vamos reduzir o numerador $x^2 - x - 6$ através do método de Bhaskara. Sendo $a=1$, $b=-1$ e $c=-6$, os zeros do polinômio são:

$\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

$\Longrightarrow x = {-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-6)} \over 2 \cdot 1}$

$\Longrightarrow x = {1 \pm \sqrt{25} \over 2}$

$\Longrightarrow x = {1 \pm 5 \over 2}$   $\to \left \{ \begin{matrix} 
x_1 = 3 \
x_2 = -2 \end{matrix} \right.$

Então, o numerador fica da seguinte forma:

$\Longrightarrow x^2 - x - 6 = a \cdot (x-x_1) ( x-x_2)$

$\Longrightarrow x^2 - x - 6 = (x-3) ( x+2)$    $(I)$

2. Agora, vamos reduzir o denominador $x^2 +x-2$. Portanto, para $a=1$, $b=1$ e $c=-2$, tem-se o seguinte:

$\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

$\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-2)} \over 2\cdot 1}$

$\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{9} \over 2}$

$\Longrightarrow x = {-1 \pm 3 \over 2}$    $\to \left \{ \begin{matrix} 
x_3 = 1 \
x_4 = -2 \end{matrix} \right.$

Então, o denominador fica da seguinte forma:

$\Longrightarrow x^2 +x-2 = a \cdot (x-x_3)(x-x_4)$

$\Longrightarrow x^2 +x-2 = a \cdot (x-1)(x+2)$   $(II)$

Substituindo as equações $(I)$ e $(II)$, o resultado final é:

$\Longrightarrow \underset{x \to -2} \lim \, {x^2 -x- 6 \over x^2 + x-2}
 = \underset{x \to -2} \lim \, {(x-3)(x+2) \over (x-1)(x+2)}$

$= \underset{x \to -2} \lim \, {(x-3)\over (x-1)}$

$= {(-2-3)\over (-2-1)}$

$= {-5\over -3}$

$\Longrightarrow \fbox {$ \underset{x \to -2} \lim \, {x^2 -x- 6 \over x^2 + x-2}
 = {5 \over 3}  $}$

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