Contrato com poder público garante efetivação como servidor sem concurso?

Não. Com exceção daqueles já contratados antes da CF/88 entrar em vigor. Foi ela que institui a necessidade de concurso público para ingresso em cargo público, então para àqueles que à época cumpriam os requisitos foi feita a regularização e efetivação. 

Não, conforme determinado pelo Supremo Tribunal Federal em sua Súmula Vinculante 43: 

Súmula Vinculante 43 "É inconstitucional toda modalidade de provimento que propicie ao servidor investir-se, sem prévia aprovação em concurso público destinado ao seu provimento, em cargo que não integra a carreira na qual anteriormente investido."