alguem responde por favor ?

Boa Tarde !

Sobre a pergunta vc faz assim :

f(x,y) = x²+xy+y² , P(2,4) 

∇f = ( 2x +y, x+2y) 
∇fp = ( 2•2+4,2+2•4) = (8,10)

Esse negocio de vetor gradiente me confundiu.. Mais no caso apenas devo derivar normalmente.

Isso é um exemplo

A direção de maior crescimento é dada pelo gradiente da função no ponto \(P\) e a de menor crescimento pelo gradiente negativo no ponto \(P\).

O gradiente de uma função é dado pelas derivadas parciais das coordenadas.

Assim:

\(g(x,y)=(\frac{df}{dx};\frac{df}{dy})\)

\((\frac{df}{dx};\frac{df}{dy})=(2x+y; x+2y)\)

No ponto  \(Po (-1, 1)\):

\((2x+y; x+2y)=(2(-1)+1; -1+2.1)=(-1;1)\)

Assim, a direção de maior crescimento é \(\boxed{(-1,1)}\) e de decrescimento é \(\boxed{-(-1,1)}\).

Para calcular a derivada nessas direções, devemos encontrar o módulo de \(g\) é:

 \(|g|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2\)

Assim, a derivada na direção de maior crescimento é \(\boxed{\sqrt2}\) e descrescimento \(\boxed{-\sqrt2}\)