Como fazer os Postulados de Boole?
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A álgebra booleana, como qualquer outro sistema matemático dedutível, pode ser definido como um conjunto de elementos, um conjunto de operadores, e um número de axiomas, ou postulados, não provados.
Os postulados de um sistema matemático são as suposições, ou considerações básicas a partir das quais é possível se deduzirem as regras, os teoremas, e as propriedades do sistema. Os postulados mais comuns usados para se formularem várias estrutruras algébricas são:
| 1 – Fechamento: | a * b = c | a,b,c Î S |
| 2 – Lei Associativa: | (a * b) * c = a * (b * c) | a,b,c Î S |
| 3 – Lei Comutativa: | a * b = b * a | a,b Î S |
| 4 – Elemento Identidade: | e * a = a * e = a | a Î S |
| 5 – Inversa: | a * b = e | a,b Î S |
| 6 – Lei Distributiva: | a * (b # c) = (a * b) # (a * c) | a,b,c Î S |
Um exemplo de estrutura algébrica é um corpo (field). Um corpo é um conjunto de elementos, juntamente com dois operadores binários, cada um atendendo as 5 primeiras leis, e os dois combinados para atender a 6a .
Postulados de Boole:
| Caso (a) | Caso (b) | |
| Postulado 2 | a + 0 = a | a · 1 = a |
| Postulado 5 | a + a’ = 1 | a · a’ = 0 |
| Teorema 1 | a + a = a | a · a = a |
| Teorema 2 | a + 1 = 1 | a · 0 = 0 |
| Teorema 3, involução | (a’)’ = a | (a’)’ = a |
| Postulado 3, comutativo | a + b = b + a | a · b = b · a |
| Teorema 4, associativo | a + (b+c) = (a+b) + c | a · (b· c) = (a · b) · c |
| Postulado 4, distributivo | a · (b+c) = (a · b)+(a · c) | a+(b · c) = (a+b) · (a+c) |
| Teorema 5, DeMorgan | (a + b)’ = a’ · b’ | (a · b)’ = a’ + b’ |
| Teorema 6, absorção | a + (a · b) = a | a · (a + b) = a |
| Teorema 7 | a + (a’ · b) = a + b | a · (a’ + b) = a · b |
| Teorema 8 | a’ + (a · b) = a’ + b | a’ · (a + b) = a’ · b |
Verifica-se que os postulados e teoremas são duais, isto é, existem sempre os casos (a) e (b) que são simétricos. No caso (a), onde se escreve + , · , 0 , 1, no caso (b) correspondente, escreve-se · , + , 1 , 0 , respectivamente.
Os teoremas 6 e 7 são derivados dos postulados e teoremas anteriores, mas devem ser citados no quadro por facilitarem as simplificações de várias expressões lógicas.
Nas demonstrações que se seguem, serão utilizados parênteses apenas sobre as operações + , desde que assume-se que o operador · tem precedência sobre o + . Serão utilizadas as letras P para postulado, e T para teorema.
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