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calculo III

Calcule C1 e C2 de modo que y(x)=C1senx+C2cosx satisfaça as condições dadas:

y(0)=2y''(0)=1.

Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.

 
 

C1=2C2=1

PVC

 

C1=-1C2=- 2

PVI

 

C1=1C2=2

PVI

 

C1=3C2=2

PVC

 

C1=1C2=ln2

PVC

Cálculo III

ESTÁCIO


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Há mais de um mês

Para a função \(y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x\), sua primeira derivada é:

\(\Longrightarrow y'(x) = {d y(x) \over dx}\)

\(\Longrightarrow y'(x) = {d \over dx}(c_1 \sin x + c_2 \cos x )\)

\(\Longrightarrow y'(x) =c_1 \cos x - c_2 \sin x \)


Portanto, pelas condições iniciais \(y(0)=2\) e \(y'(0)=1\), os valores das constantes são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x \\ y'(x) =c_1 \cos x - c_2 \sin x \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y(0) = c_1 \sin 0 + c_2 \cos 0 \\ y'(0) =c_1 \cos 0 - c_2 \sin 0 \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} 2 = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 \\ 1 =c_1 \cdot 1 - c_2 \cdot 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} c_2 = 2 \\ c_1 =1 \end{matrix} \right.\)


Como as condições apresentadas são condições iniciais, trata-se de um PVI cuja solução é \(\fbox { $ c_1 = 1 $ }\) e \(\fbox {$ c_2 = 2 $}\).

Resposta correta: terceira alternativa.

Para a função \(y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x\), sua primeira derivada é:

\(\Longrightarrow y'(x) = {d y(x) \over dx}\)

\(\Longrightarrow y'(x) = {d \over dx}(c_1 \sin x + c_2 \cos x )\)

\(\Longrightarrow y'(x) =c_1 \cos x - c_2 \sin x \)


Portanto, pelas condições iniciais \(y(0)=2\) e \(y'(0)=1\), os valores das constantes são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x \\ y'(x) =c_1 \cos x - c_2 \sin x \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y(0) = c_1 \sin 0 + c_2 \cos 0 \\ y'(0) =c_1 \cos 0 - c_2 \sin 0 \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} 2 = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 \\ 1 =c_1 \cdot 1 - c_2 \cdot 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} c_2 = 2 \\ c_1 =1 \end{matrix} \right.\)


Como as condições apresentadas são condições iniciais, trata-se de um PVI cuja solução é \(\fbox { $ c_1 = 1 $ }\) e \(\fbox {$ c_2 = 2 $}\).

Resposta correta: terceira alternativa.

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