Para a função \(y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x\), sua primeira derivada é:

\(\Longrightarrow y'(x) = {d y(x) \over dx}\)

\(\Longrightarrow y'(x) = {d \over dx}(c_1 \sin x + c_2 \cos x )\)

\(\Longrightarrow y'(x) =c_1 \cos x - c_2 \sin x \)

Portanto, pelas condições iniciais \(y(0)=2\) e \(y'(0)=1\), os valores das constantes são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} y(x) = c_1 \sin x + c_2 \cos x \\ y'(x) =c_1 \cos x - c_2 \sin x \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} y(0) = c_1 \sin 0 + c_2 \cos 0 \\ y'(0) =c_1 \cos 0 - c_2 \sin 0 \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} 2 = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 1 \\ 1 =c_1 \cdot 1 - c_2 \cdot 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} c_2 = 2 \\ c_1 =1 \end{matrix} \right.\)

Como as condições apresentadas são condições iniciais, trata-se de um PVI cuja solução é \(\fbox { $ c_1 = 1 $ }\) e \(\fbox {$ c_2 = 2 $}\).

Resposta correta: terceira alternativa.