Para exemplificar, vamos derivar implicitamente a seguinte função:

\(\Longrightarrow x^2 +xy+ y^2 = 1\)

Derivando a função em \(dx\), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {d \over dx}(x^2)+{d \over dx}(xy) + {d \over dx}(y^2) = {d \over dx}(1)\)

\(\Longrightarrow {d \over dx}(x^2)+ \Big (y{d \over dx}(x) + x{d \over dx}(y) \Big ) + {d \over dx}(y^2) = {d \over dx}(1)\)

Para os termos \(y\) e \(y^2\), vamos derivar e integrar em \(dy\). Com isso, os termos ficam da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {d \over dx}(x^2)+ \Big (y{d \over dx}(x) + x{d \over dx}(y){dy \over dy} \Big ) + {d \over dx}(y^2){dy \over dy} = {d \over dx}(1)\)

\(\Longrightarrow {d \over dx}(x^2)+ \Big (y{d \over dx}(x) + x{d \over dy}(y){dy \over dx} \Big ) + {d \over dy}(y^2){dy \over dx} = {d \over dx}(1)\)

Derivando normalmente, o resultado é:

\(\Longrightarrow 2x+ \Big (y\cdot 1 + x\cdot 1{dy \over dx} \Big ) + 2y{dy \over dx} =0\)

\(\Longrightarrow 2x+ y + x{dy \over dx} + 2y{dy \over dx} =0\)

\(\Longrightarrow (x + 2y){dy \over dx} =-(2x+ y)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dy \over dx} =-{2x+ y \over x + 2y } $}\)