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Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y = sent. Qual é o valor da derivada em t = Π/2

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RD Resoluções

A equação da Regra da Cadeia é:

\(\Longrightarrow {dw \over dt} = {dw \over dx}{dx \over dt}+ {dw \over dy}{dy \over dt}\)   \((I)\)


As derivadas \({dw \over dx}\) e \({dw \over dy}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dw \over dx} = {d \over dx}(xy) \\ {dw \over dy} = {d \over dy}(xy) \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {dw \over dx} = y & (II)\\ {dw \over dy} = x & (III) \end{matrix} \right.\)


E as derivadas \({dx \over dt}\) e \({dy \over dt}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {dx \over dt} = {d \over dt}(\cos t) \\ {dy \over dt} = {d \over dt}(\sin t) \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {dx \over dt} = -\sin t & (IV) \\ {dy \over dt} = \cos t & (V) \end{matrix} \right.\)


Substituindo as equações \((II)\) a \((V)\) na equação \((I)\), o resultado é:

\(\Longrightarrow {dw \over dt} = y\cdot (-\sin t)+ x\cdot \cos t\)

\(\Longrightarrow {dw \over dt} = \sin t\cdot (-\sin t)+ \cos t \cdot \cos t\)

\(\Longrightarrow {dw \over dt} = \cos^2 t- \sin^2 t\)

\(\Longrightarrow {dw \over dt} = \cos 2t\)


Substituindo \(t = {\pi \over 2}\), o valor da derivada \( {dw \over dt}\) é:

\(\Longrightarrow {dw \over dt} = \cos (2{\pi \over 2})\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ {dw \over dt} =-1 $}\)

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