Verificação para saber se pontos são vértices de um triângulo retângulo

Sabemos que um triângulo retângulo possui um ângulo de 90º, então precisamos verificar se um dos ângulos entre os vetores que são ligados por esses vértices é igual a 90º. Sabendo que o cosseno de 90º é igual a 0 e a fórmula para descobrirmos os ângulos entre os vetores utiliza o cosseno, precisamos jogar os valores dos vetores nas fórmulas e se algum deles resultar em 0 temos que os pontos pertencem a um triângulo retângulo.

Primeiro precisamos dos vetores, possuímos apenas os pontos:

\(\overrightarrow{AB}=B-A\)

\(\overrightarrow{AB}=(12,6)-(-2,2)\)

\(\overrightarrow{AB}=(14,4)\)

\(\overrightarrow{AC}=C-A\)

\(\overrightarrow{AC}=(4,-6)-(-2,2)\)

\(\overrightarrow{AC}=(6,-8)\)

\(\overrightarrow{BC}=C-B\)

\(\overrightarrow{BC}=(4,-6)-(12,6)\)

\(\overrightarrow{BC}=(-8,-12)\)

Para descobrirmos o ângulo entre os vetores utilizaremos a fórmula a seguir:

\(\cos \alpha=\frac{u.v}{|u|.|v|}\)

Vamos iniciar testando o ângulo entre os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{AC}\):

\(\cos \alpha_1=\frac{(14,4).(6,-8)}{\sqrt{14^2+4^2}.\sqrt{6^2+(-8)^2}}\)

\(\cos \alpha_1=\frac{32}{\sqrt{21200}} \approx 0,219\)

Como o resultado deu diferente de 0 prosseguimos testando os próximos vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{BC}\):

\(\cos \alpha_2=\frac{(14,4).(-8,-12)}{\sqrt{14^2+4^2}.\sqrt{(-8)^2+(-12)^2}}\)

\(\cos \alpha_2=\frac{64}{\sqrt{44096}} \approx 0,304\)

Agora vamos testar o último conjunto de vetores \(\overrightarrow{AC}\) e \(\overrightarrow{BC}\):

\(\cos \alpha_3=\frac{(6,-8).(-8,-12)}{\sqrt{6^2+(-8)^2}.\sqrt{(-8)^2+(-12)^2}}\)

\(\cos \alpha_3=\frac{48}{\sqrt{20800}} \approx 0,332\)

Podemos observar que nenhum dos resultados foi igual a 0, portanto o triângulo não possui nenhum ângulo de 90º, logo os pontos não pertencem a um triângulo retângulo.