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Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f '' (t) :

CALCULO 2

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Heitor Dantas

f'(t)=(3*e^(3t)*sen(t) + e^(3t)*cos(t),3)
f''(t) =(8*e^(3t)*sen(t) + 6*e^(3t)*cos(t),0)

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RD Resoluções

A primeira derivada é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d \over dt}(e^{3t} \sin t) = \sin t \cdot {d \over dt}(e^{3t}) + e^{3t} {d \over dt}(\sin t) \\ {d \over dt}(3t-2) = {d \over dt}(3t) - {d \over dt}(2) \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {d \over dt}(e^{3t} \sin t) = \sin t \cdot 3e^{3t} + e^{3t} \cos t \\ {d \over dt}(3t-2) = 3 - 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d \over dt}(e^{3t} \sin t) = e^{3t} (3\sin t + \cos t) \\ {d \over dt}(3t-2) = 3 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \underline {f'(t) = \Big (e^{3t}(3\sin t + \cos t),3 \Big )}\)


Portanto, a segunda derivada é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d \over dt} \Big ( e^{3t} (3\sin t+ \cos t) \Big ) = (3\sin t+ \cos t) \cdot {d \over dt}(e^{3t}) + e^{3t} \cdot {d \over dt}(3\sin t+ \cos t) \\ {d \over dt}(3) = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d \over dt} \Big ( e^{3t} (3\sin t+ \cos t) \Big ) = (3\sin t+ \cos t) \cdot 3e^{3t} + e^{3t} \cdot (3\cos t - \sin t) \\ {d \over dt}(3) = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d \over dt} \Big ( e^{3t} (3\sin t+ \cos t) \Big ) = e^{3t}(9\sin t+ 3\cos t) + e^{3t} (3\cos t - \sin t) \\ {d \over dt}(3) = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {d \over dt} \Big ( e^{3t} (3\sin t+ \cos t) \Big ) = e^{3t}(8\sin t+ 6\cos t) \\ {d \over dt}(3) = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \fbox { $ f''(t) = \Big (e^{3t}(8\sin t + 6\cos t), 0 \Big ) $}\)

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