Dados os vetores u = (2, 3, –1); v = (1, –1, 1) e w = (–3, 4, 0)

a1(2,3,-1) + a2(1,-1,1) + a3(-3,4,0) = (-3,4,0)

(2a1,3a1,-a1) + (a2,-a2,a2) + (-3a3,4a3,0) = (-3,4,0)

(2a1+a2-3a3,3a1-a2+4a3,-a1+a1+0a3) = (-3,4,0)

Podemos obter neste caso um sistema de três equações com três icócnitas que são: a1, a2 e a3.

(I)         2a1+a2-3a3 = -3

(II)        3a1-a2+4a3 = 4

(III)       4a3 = 0

Pela equação três temos que a3 = 0, temos agora o seguinte sistema, agora com duas equações e duas icógnitas:

(III)         2a1+a2 = -3

(VI)        3a1-a2 = 4

Pela equação VI temos: a2 = 3a1 - 4, substituindo em I temos:

 2a1+(3a1 - 4) = -3

5a1 = 1

a1 = 1/5

substituindo a1 na equação IV temos:

 3(1/5)-a2 = 4

a2 = 3/5 - 4

a2 = 3/5 - 20/5

a2 = 23/5

A soma ou subtração de vetores deve ser feita na mesma direção. Ou seja, a coordenada \(x\) somente soma ou subtrai com \(x\) e assim por diante.

Então, seja  \(a1 u + a2 v + a3 w = (–2, 13, –5)\).. Vamos substituir os valores fornecidos: 

\(a1 u + a2 v + a3 w = (–2, 13, –5)\\  a1  (2, 3, –1) + a2  (1, –1, 1) + a3 (–3, 4, 0) = (–2, 13, –5).\)

Multiplicando \(a1\), \(a2\) e \(a3\) coordenada por coordenada, temos:

\( (2 a1, 3 a1, – a1) + (a2 , –a2 , a2 ) + (–3a3, 4a3, 0) = (–2, 13, –5).\)

Somando na mesma direção:

\((2 a1+a2-3a3 ; 3a1-a2+4a3 ; -a1+a2+0) = (–2, 13, –5).\)

Igualando coordenadas correspondentes obtemos a equação \(1\), equação \(2\) e equação \(3\), respectivamente:

:\(2 a1+a2-3a3 = -2   \:  \: \\ 3a1-a2+4a3 = 13   \: \: \:\\ -a1+a2= -5         \:  \: \: \: \:  \)

Vamos resolver a equação \(3\):

\(-a1+a2= -5\\ a2=-5+a1\)

Vamos substituir na equação \(1\) e \(2\):

\(2 a1+a2-3a3 = -2 \\ 2 a1-5+a1-3a3 = -2 \\ 3a1-3a3 =-2+5 = 3\\ 3a1-3a3=3\\ a1-a3=3\\\)

\(3a1-a2+4a3 = 13  \\ 3a1- (-5+a1)+4a3=13\\ 3a1+5-a1+4a3=13\\ 2a1+4a3= 13-5 =8\\ a1+2a3=4\\\)

Temos, portanto, duas novas equações:

\(a1-a3=3\\ a1+2a3=4\)

Resolvendo a primeira e substituindo na segunda:

\(a1= 3+a3\\ 3+a3+2a3=4\\ 3a3=1\\ a3=1/3\)

Substituindo em \(a1= 3+a3\), descobrimos \(a1\):

\(a1= 3+1/3\\ a1=10/3\)

Por fim, substituindo a1 em \(-a1+a2= -5\)   , encontramos \(a2\):

\(-a1+a2= -5   \\ -10/3+a2=-5\\ a2=5/3 \)

Portanto,  \(\boxed{a1=\frac{10}3}, \boxed{a2=\frac{5}3},\boxed{a3=\frac{1}3}\)