Como mostra que a energia cinética relativística se reduz a energia cinética clássica

Temos:

\(\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{v}\right)^2}}=\left[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}}\)

Se \(u \ll c\) , dividindo os dois lados por c e elevando ao quadrado, temos: \(\left(\frac{u}{c}\right)^2 \ll 1\)

Mas:

\((1+x)^n=1 + nx\) (somente se \(x \ll 1\)

Aplicando:

\(\left[1-\left(\frac{u}{c}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}}=1 + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{u}{c}\right)^2\)

substituindo na equação principal:

\(E_c=m_0c^2 \cdot \left[ \gamma {1} + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{u}{c}\right)^2-\gamma {1}\right]\)

Simplificando:

\(\boxed{E_c=\frac{1}{2}\cdot m_0 \cdot u^2}\)