Qual a taxa anual que deve-se aplicar um capital, para que, findo 5 anos, possa produzir juros iguais a 8/16 do próprio capital?

Olá Fernanda!

Sabendo que a questão será resolvida em juros compostos, vamos lá.

Primeiro passo é escolher um Valor Presente (VP), daí para facilitar vamos escolher um VP de R$100,00.

Depois disso vamos traduzir o que a questão pede ao final: "(...) produzir juros iguais a 8/16 do próprio capital (...)", ou seja, produzir a metade do VP em juros, logo nosso valor de juros deve ser R$50,00 e o Valor Futuro R$150,00 (VP + Juros).

Agora sabendo que o período é de 5 anos, basta resolvermos a questão:

Na HP12C: 100 [CHS] [PV] 150 [FV] 5 [ n ] [ i ] = 8,447177120% ao ano

Modo algébrico:

\(i = (\sqrt[n]{\frac{Valor Futuro}{Valor Presente}}) - 1\)

\(i = (\sqrt[5]{\frac{150}{100}}) - 1\)

\(i = (\sqrt[5]{1,5}) - 1\)

\(i = 1,084471771 - 1\)

\(i = 0,084471771\)

i = 8,447177120% ao ano

Espero ter ajudado!

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Matemática Financeira, em especial sobre Juros.

Admitindo que no problema em questão os juros são compostos, faremos uso da seguite equação:

\(M=C\cdot (1+i)^t,\)

em que \(M\) é o montante final; \(C\) o capital inicial; \(i\) a taxa de juros por período; e \(t\) a quantidade de períodos.

Em nosso problema, queremos encontrar o valor de \(i\) para o qual \(M=\left(1+\dfrac{8}{16} \right)\cdot C=1,5\cdot C\). Daí, para que isso ocorra, é necessário que \((1+i)^t=1,5\).

Substituindo os dados do problema, vem que:

\((1+i)^5=1,5\)

Elevando ambos os lados a \(\dfrac{1}{5}\), resulta que:

\(1+i=1,0845\)

Somando \((-1)\) em ambos os lados, encontra-se finalmente que \(i=0,0845=8,45\text{ % a.a}\)

Portanto, para que após 5 anos os juros produzidos sejam iguais a \(\dfrac{8}{16}\) do capital, é necessário que a taxa de juros seja de  \(\boxed{8,45\text{ % a.a}}\).