Como Calcular m para que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(a,-3,1) e v=(1,-2,1) , calcular o valor de a?

O módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo que se pode formar com dois vetores, entao u x v = a um determinante D tal que 

D= 

│ i j k │ 
│ m -3 1 │ 
│ 1 -2 1 │ 

Resolvendo pela primeira linha fica: 






│ i j k │ 
│ m -3 1 │ 
│ 1 -2 1 │ = i(-3+2) -j(m-1)+k(-2m+3)= 

-i-(m-1)j+(-2m+3)k 

u x v = -i-(m-1)j+(-2m+3)k 

módulo de u x v = √((1²+(-(m-1)²+(-2m+2)²)=√(26) 

elevando ao quadrado , fica 

1+(-(m-1))²+(-2m+3)²=26 

ou 

1+m²-2m+1+4m²-12m+9=26 

ou 

5m²-14m +11-26= 

5m²-14m-15=0 

onde 

∆=196+300=496 
e 

496=2^4.31 

logo , aplicando Baskara , 


m=(14+-4√31)/10 

ou 

m=(7+-2√31)/5

A área de um paralelogramo é dada pelo produto vetorial entre u e v, ou seja:

\(\left[ \begin{array}{c c c} i&j&k\\ a&-3 &1\\ 1&-2&1\\ \end{array}\right] =24\)

Resolvendo esse determinante:

\(=3k+2i-a-3i+j-2ak=24\\ =(-1,1-a, -2a+3)=24\)

Retirando o modulo:

\(=\sqrt{(-1)^2+(1-a)^2+(-2a+3)^2}=\sqrt{24}\\ =\sqrt{1+(1-2a+a^2)+(4a^2-12a+9)}=\sqrt{24}\\ =\sqrt{11-14a+5a^2}=\sqrt{24}\\ =5a^2-14a-13=0 \)

Usando bhaskara:

\(x = {14 \pm \sqrt{14^2-4.5.(-13)} \over 2.5}\\ x= {14 \pm {21,35} \over 10}\\ x=3,53\\ x=-0,735\)

Assim, \(\boxed{m= 3,53}\) ou \(\boxed{m=-0,735}\)