O valor de um automóvel decresce exponencialmente em relação ao tempo, de modo que seu valor, daqui a t anos, será V = 40000(0,8)t com t>=0

Hey!:

Tem-se que o valor do automóvel hoje é de ( t = 0 ) é :

Vo = 40000 * ( 0,8 ) ^0 => 40000 

Então, daqui a t anos, seu valor será:

Vt = 40000 * ( 0,8 )^t => 1/4 * 40000

Por definição, tem-se:

(0,8)^t  = 1/4  

log (0,8 )^t => log 1/4

t * log 0,8 =log 4 ^-1

t * [ log 8/10 ] => - log 4

Então:

t * [3 log2 - log 10 ] = - log 2

t * [ 3 * 0,30 - 1 ]

=  - 2  * 0,30

t = 6 anos

=)

Para encontrarmos o tempo, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & V\text{ }=\text{ }40000{{\left( 0,8 \right)}^{t}}\text{ } \\ & \\ & {{V}_{0}}=40000{{(0,8)}^{0}} \\ & {{V}_{0}}=40000 \\ & \\ & {{V}_{t}}=40000{{\left( 0,8 \right)}^{t}}\text{ } \\ & {{\text{V}}_{t}}=\frac{1}{4}\cdot 40000 \\ & \\ & {{0,8}^{t}}=\frac{1}{4} \\ & \log {{0,8}^{t}}=\log \frac{1}{4} \\ & t\log 0,8=\log {{4}^{-1}} \\ & t\left( 3\log 2-\log 10 \right)=-2\log 2 \\ & t(0,9-1)=-0,6 \\ & t=6anos \\ \end{align}\ \)