um juiz de Direito tem a possibilidade de examinar o caso de analfabetismo? O juiz pode aferir o mencionado requisito? Qual lei autoriza isto?

Se houver dúvidas, o juiz pode submetê-lo a um teste.

Sim. Essa é inclusive a orientação da jurisprudência do TSE, por exemplo.

Resoluções do TSE explicitam que a comprovação da alfabetização pode ser feita por meio de comprovante de escolaridade.

"A comprovação da condição de alfabetizado, para obtenção de registro como candidato, dá-se por meio do comprovante de escolaridade (artigo 28, VII, Res. nº 21.608/2004-TSE; artigo 25, IV, Res. nº 22.156/2006-TSE; artigo 29, IV, Res. nº 22.717/2008-TSE; artigo 26, IV, Res. 23.221/2010-TSE)".

A ausência do aludido documento, no entanto, poderá ser suprida por declaração de próprio punho, efetuada perante o magistrado eleitoral ou de serventuário da Justiça Eleitoral. Essa é a jurisprudência remansosa do TSE:

ELEIÇÕES 2008. Agravo regimental. Recurso especial. Registro de candidatura. Analfabetismo. Art. 29, IV, § 2º, da Res.-TSE nº 22.717. Declaração de próprio punho. Presença do juiz eleitoral ou de serventuário da Justiça Eleitoral. Exigência. Precedente. Agravo improvido. I - Na falta do comprovante de escolaridade, é imprescindível que o candidato firme declaração de próprio punho em cartório, na presença do juiz ou de serventuário da Justiça Eleitoral, a fim de que o magistrado possa formar sua convicção acerca da condição de alfabetizado do candidato. II - Agravo regimental improvido. (Agravo Regimental em Recurso Especial Eleitoral nº 31937, Acórdão de 05/05/2009, Relator(a) Min. ENRIQUE RICARDO LEWANDOWSKI, Publicação: DJE - Diário da Justiça Eletrônico, Data 02/06/2009, Página 36)