Determine uma equação da reta normal a curva f (x) = 10/14-x² no ponto x0 =4, alguém já resolveu essa questão, estou precisando não consegui resolver

Deixarei aqui o passo a passo de como resolver esse tipo de questão, caso não entenda pode estar perguntando : 

Passo 0 (opcional em alguns casos):

Se o problema não te deu o par ordenado por completo , encontre - o substituindo o valor que foi dado na expressão de F(x)

1º passo : 
Derive sua função F(x);

2º passo : 
Encontre o valor de F'(x) para o ponto dado ;

3º passo : 

monte a equação da reta tangente;

4º passo: 

Por fim, para encontrar a equação da reta normal à curva em um determinado ponto é necessário lembrar que ela é perdendicular à reta tangente nesse ponto , ou seja , o coeficiente angular da normal é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente (mt*mn=-1).

Conhecendo o valor \(x_0=4\), o valor de \(y_0\) é:

\(\Longrightarrow y_0 = f(x_0)\)

\(\Longrightarrow y_0 = {10 \over 14-x_0^2 }\)

\(\Longrightarrow y_0 = {10 \over 14-4^2 }\)

\(\Longrightarrow y_0 = {10 \over -2 }\)

\(\Longrightarrow y_0 = -5\)

Portanto, o ponto a ser avaliado é \(\underline {(x_0,y_0)=(4,-5) }\).

Primeiro, será encontrada a inclinação \({df(x) \over dx}\) da reta tangente à curva \(f(x) = {10 \over 14-x^2 }\) num ponto \((x,y)\) qualquer.

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} ={d \over dx} \Big ({10 \over 14-x^2 } \Big )\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} =10 \cdot {d \over dx} \Big [ (14-x^2 )^{-1} \Big ]\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} =10 \cdot (-1) (14-x^2 )^{-1-1}\cdot {d \over dx} (14-x^2 )\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} =-10\cdot (14-x^2 )^{-2}\cdot (0-2x )\)

\(\Longrightarrow {df(x) \over dx} = { 20x \over (14-x^2 )^{2} }\)

Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto \(x_0=4\) é:

\(\Longrightarrow a_{tan} = {df(x) \over dx} \bigg |_{x_0=4}\)

\(\Longrightarrow a_{tan} = { 20x_0 \over (14-x_0^2 )^{2} }\)

\(\Longrightarrow a_{tan} = { 20\cdot 4 \over (14-4^2 )^{2} }\)

\(\Longrightarrow a_{tan} = { 80 \over (-2 )^{2} }\)

\(\Longrightarrow a_{tan} = { 80 \over 4 }\)

\(\Longrightarrow a_{tan} = 20\)

A reta normal pe perpendicular à reta tangente. Portanto, a inclinação \(a_{nor}\) da reta normal no ponto \(x_0=4\) é:

\(\Longrightarrow a_{nor} = -{1 \over a_{tan} }\)

\(\Longrightarrow a_{nor} = -{1 \over 20 }\)

Portanto, a equação geral da reta normal é:

\(\Longrightarrow y_{nor} = a_{nor} \cdot x + b_{nor}\)

\(\Longrightarrow y_{nor} =-{1 \over 20} x + b_{nor}\)   \((I)\)

Uma vez que a curva \(f(x) = {10 \over 14-x^2 }\) e a reta normal \( y_{nor} \) se cruzam no ponto \((x_0,y_0)=(4,-5)\), vamos substituir esse ponto na equação \((I)\) para calcular o valor do coeficiente linear \(b_{nor}\).

\(\Longrightarrow y_{0} =-{1 \over 20} x_0 + b_{nor}\)

\(\Longrightarrow -5 =-{1 \over 20} \cdot 4 + b_{nor}\)

\(\Longrightarrow b_{nor} = {4 \over 20} -5 \)

\(\Longrightarrow b_{nor} = -4,8\)

Portanto, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{nor} =-{1 \over 20} x -4,8 $}\)