O domínio da função são os valores nos quais ela assume valores reais. Para calcular o dominio da função \(f(x,y)= \sqrt{25-x^2 - y^2 }\), o termo dentro da raiz deve ser, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Ou seja:

\(\Longrightarrow 25-x^2 - y^2 \ge 0\)

Com isso, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow -x^2 - y^2 \ge -25\)

\(\Longrightarrow x^2 + y^2 \le 25\)

\(\Longrightarrow x^2 + y^2 \le 5^2\)     \((I)\)

A função \((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\) diz respeito a um círculo de centro \((x_0,y_0)\) e raio \(r\). Portanto, conforme a inequação \((I)\), os valores de \(x\) e \(y\) estão limitados por um círculo de centro \((0,0)\) (ou seja, na origem) e raio \(5\).

Devido ao sinal \(\le\) (menor ou igual) na inequação \((I)\), o domínio de \(f(x,y)= \sqrt{25-x^2 - y^2 }\) está no interior e na fronteira do círculo de centro na origem e de raio \(5\).

Resposta correta: Quinta alternativa.

Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a \(5\), com centro em \((0,0)\).