Como calcular tranformada de Fourier?

Engenharia Elétrica

•

UNIVERSO

0

1

Rafael Pacheco

03.05.2018

💡 1 Resposta

RD Resoluções

14.06.2018

A transformada de Fourier de uma função f(x) é definida como:

${\cal{F}}[f(x)] \equiv F(w_x) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2i\pi w_xx} dx$

(4.1)

e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como:

${\cal{F}}^{-1}[F(w_x)] \equiv f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(w_x) e^{2i\pi w_xx} dw_x$

(4.2)

onde $ w_x$ é a freqüência angular, e $i\equiv \sqrt{-1}$ .

Para cada freqüência , integramos a função sobre todos os valores da coordenada . Se o valor da integral for grande para esta freqüência, então o sinal tem uma componente significativa nesta freqüência, isto é, uma parte significativa deste sinal é composto por esta freqüência.

Podemos também definir:

$\boxed{{\cal{F}}[f(x)] \equiv F(\nu) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \nu x} dx,}$

(4.3)

e a transformada inversa, que recupera a função original é definida como :

$\boxed{{\cal{F}}^{-1}[F(\nu)] \equiv f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\nu) e^{i\nu x} d\nu,}$

(4.4)

onde $\nu=2\pi w_x$ é a freqüência linear.

Note que:

$e^{-i\nu x} \equiv cos(\nu x) + i sen(\nu x)$

A condição suficiente para e existência da transformada de Fourier de uma função $ f(x)$ qualquer é que a função seja integrável, e finita, isto é:

$\int_{-\infty}^\infty \vert f(x)\vert dx < \infty$

(4.5)

As medidas e imagens que estamos interessados são sempre integráveis e finitas.

$\epsfig{file=ft.epsf,width=10cm,clip=}$

Embora a imagem seja real, a transformada de Fourier é uma função complexa, com coeficientes reais e imaginários:

$\boxed{F(w_x) = \Re[F(w_x)] + i\Im[F(w_x)].}$

O espectro de potências $ P(w_x)$ é definido como:

$\boxed{P(w_x) = \Re[F(w_x)]^2 + \Im[F(w_x)]^2,}$

e o ângulo de fase é dado por:

$\boxed{\phi(w_x)=\tan^{-1} \frac {\Im[F(w_x)]}{\Re[F(w_x)]}.}$

Por exemplo, podemos calcular a transformada de Fourier de um pulso retangular, definido por:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1&{se $\vert x\vert<T$}\\ 0&{se $\vert x\vert\geq T$} \end{array}\right.$

A transformada de Fourier $ F(w)$ de $ f(x)$ é dada por:

${\cal{F}}[f(x)] \equiv F(w)$		$\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-iwx} dw$
		$\int_{-T}^T 1\cdot e^{-iwx} dw$
		$\frac{e^{-iwx}}{-iw} \Big\bracevert_{-T}^T$
		$\frac{1}{-iw}\left(e^{-iwT}-e^{iwT}\right)$
		$2T \frac{{sen}\,(wt)}{wT}$
		$2T {sinc}\,(wT),$