como calculo: que taxa de juros transforma 36 prestaçoes mensais de 100 reais em 12 prestaçoes trimestrais de 309,09???

Fernando, boa tarde!

Como a quantidade de prestações é exatamente múltipla uma da outra (36 meses = 12 trimestres), podemos pegar somente a referência de um período para calcular a taxa de juros.

Fluxo mensal:

0                   1                      2                     3

        R$ 100,00         R$ 100,00         R$ 100,00

Fluxo Trimestral

0                   1                      2                     3

                                                       R$ 309,09

Veja, então, que 3 prestações de 100 no período 1, 2 e 3 transformaram-se em uma prestação de 309,09 no período 3.

Fazendo a equivalência de ambos fluxos de caixa na data 3 (ou seja, levando todos os valores para o futuro), teremos:

100*(1+i)²+100*(1+i)+100=309,09

Agora, vamos chamar 1+i = x

100x²+100x+100-309,09=0

100x²+100x-209,09=0

Δ=b²-4ac=100²-4(100)(-209,09)=10000+83636=93636

x=(-b±√Δ)/(2a)=(-100±√93636)/(200)

x=(-100±306)/(200)

x'=(-100+306)/(200)=206/200=1,03

x''=(-100-306)/(200)=-406/200=-2,03

Como x = 1+i, teremos:

1+i=1,03, então, i=0,03=3%a.m. :)

Taí a taxa! :)

Abraços!

O novo valor total é:

\(N=12.309,09=3709,08\)

O antigo era:3600

Resposta: A taxa de juros será:

\(t={3709,08-3600 \over 12}=3,03%\)