determine os focos e vértices da elipse x²/4+y²/16+z²/9=1 ?

Opa blz, veja este arquivo sobre parametrização de conicas, creio que ira lhe ajudar bastante

https://www.passeidireto.com/arquivo/34416059/ga-conicas

Na verdade a equação dada não é uma elipse. Uma elipse é uma figura planar cuja equação é dada por:

\({x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1\)

ou seja, com apenas duas variáveis. A equação dada descreve um elipsóide, que é basicamente a versão tridimensional de uma elipse. Os vértices podem ser calculados da mesma forma, isto é, calculando pontos pertencentes ao elipsóide que estão nos eixos do mesmo:

\({x^2\over4}+{y^2\over16}+{z^2\over9}=1\Leftrightarrow {x^2\over2^2}+{y^2\over4^2}+{z^2\over3^2}=1\)

Começando pelo eixo x, temos:

\({x_V^2\over2^2}+{0^2\over4^2}+{0^2\over3^2}=1\Rightarrow V_{1,2} = (\pm2,0,0)\)

Para o eixo y, temos:

\({0^2\over2^2}+{y_V^2\over4^2}+{0^2\over3^2}=1\Rightarrow V_{3,4} = (0,\pm4,0)\)

Para o eixo z, temos:

\({0^2\over2^2}+{0^2\over4^2}+{z_V^2\over3^2}=1\Rightarrow V_{5,6} = (0,0,\pm3)\)

Temos, então os seis vértices do elipsóide:

\(\boxed{V\in\{(\pm2,0,0),(0,\pm4,0),(0,0,\pm3)\}}\)