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Seja uma caixa cilíndrica com tampa

Seja uma caixa cilíndrica com tampa, cuja as dimensões são: raio=2cm; altura 5cm. O custo do material usado em sua coinfecção é de R$ o,81 por centímetro quadrado. Se as dimensões da caixa sofrerem um acréscimo de 5% o raio e 10% a altura, qual será o valor aproximado do acréscimo no custo da caixa em reais.

💡 1 Resposta

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RD Resoluções

Um cilindro de raio \(r\) e altura \(h\) possui a seguinte área:

\(\Longrightarrow A_{total} = 2A_{base} + A_{lat}\)

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi rh\)

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\pi r(r+h)\)


Com \(r= 2 \, \mathrm {cm}\) e \(h= 5 \, \mathrm {cm}\), o valor de \(A_{total} \) é:

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\pi \cdot 2(2+5)\)

\(\Longrightarrow A_{total} = 2\pi \cdot 2\cdot 7\)

\(\Longrightarrow A_{total} = 28\pi \, \mathrm {cm^2}\)


Portanto, o custo é, aproximadamente:

\(\Longrightarrow C=A_{total} \cdot (\mathrm {R$} \, 0,81 / \mathrm {cm^2} )\)

\(\Longrightarrow C=(28\pi \, \mathrm {cm^2}) \cdot (\mathrm {R$} \, 0,81 / \mathrm {cm^2} )\)

\(\Longrightarrow \underline {C=\mathrm {R$} \, 71,25 }\)


Com um acréscimo de 5% no raio e 10% na altura, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} r' = 1,05r=1,05 \cdot 2 \\ h'=1,1h = 1,1 \cdot 5\end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} r' = 2,1\, \mathrm {cm} \\ h'=5,5 \, \mathrm {cm} \end{matrix} \right.\)


Então, a nova área \(A'_{total}\) é:

\(\Longrightarrow A'_{total} = 2\pi r'(r'+h')\)

\(\Longrightarrow A'_{total} = 2\pi \cdot 2,1(2,1+5,5)\)

\(\Longrightarrow A'_{total} = 2\pi \cdot 2,1\cdot 7,6\)

\(\Longrightarrow A'_{total} = 31,92\pi \, \mathrm{cm^2}\)


Portanto, o novo custo é, aproximadamente:

\(\Longrightarrow C'=A'_{total} \cdot (\mathrm {R$} \, 0,81 / \mathrm {cm^2} )\)

\(\Longrightarrow C'=(31,92\pi \, \mathrm {cm^2}) \cdot (\mathrm {R$} \, 0,81 / \mathrm {cm^2} )\)

\(\Longrightarrow \underline {C'=\mathrm {R$} \, 81,23}\)


Portanto, o acréscimo do custo foi de, aproximadamente:

\(\Longrightarrow \Delta C = C'-C\)

\(\Longrightarrow \Delta C = \mathrm {R$} \, 81,23-\mathrm {R$} \, 71,25\)

\(\Longrightarrow \Delta C = \mathrm {R$} \, 9,98\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \Delta C \approx \mathrm {R$} \, 10,00 $}\)

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Pablo Pinheiro

AT=2*π*rx*(h+r)

r = 2cm, h = 5cm e R$ 0,81/cm2

AT2*π*2*(5+2)

AT= 87,96 cm2 x 0,81 = R$ 71,25

r = 2cm + 5% = 2,10cm e h = 5cm + 10% = 5,5cm

AT2*π*2,10*(5,5+2,1)

AT= 100,28 cm2 x 0,81 = R$ 81,23

Valor do acréscimo é:

R$ 81,23 - R$ 71,25 = R$ 9,98

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