Como provar que raiz de 2 é irracional?

Há uma prova por contradição (também chamada de redução ao absurdo) que é mais ou menos assim: suponha que raiz de 2 seja racional, ou seja, que ela possa ser representada como uma razão irredutível p/q (p e q primos entre si). Assim

p/q = √2 ∴ (p/q)² = 2 ∴ p² = 2q² ↔ (p² é par) ↔ (p é par).

Assim, se p é par, podemos escrever p como 2n, por exemplo. Então, substituindo isso na relação que acabamos de encontrar,

p² = 2q² ∴ (2n)² = 2q² ∴ 4n² = 2q² ∴ 2n² = q²  ↔ (q² é par) ↔ (q é par).

Chegamos à conclusão de que p e q são pares. Mas, se ambos são pares, então eles não são primos entre si, pois são ambos divisíveis por 2. Logo, a nossa hipótese de que a raiz de 2 pode ser escrita como uma razão irredutível estava errada, e portanto √2 não é racional, e sim irracional. Espero ter ajudado!

Podemos utilizar uma prova de redução ao absurdo. Suponha que \(\sqrt{2}\) é racional, ou seja:

\(\sqrt{2} = \frac{a}{b}, \ a,b \in \mathbb{Z}^*, \ \frac{a}{b} \ \text{é fração irredutível}\)

Ao elevar ao quadrado os dois lados da igualdade, teremos:

\(2 = \frac{a^2}{b^2} \\ a^2 = 2b^2\)

Perceba que \(a^2\) é par. Por consequência, \(a\) também é par, pois o quadrado de um número par é sempre par. Logo, podemos escrevê-lo de forma:

\(a = 2k, \ k \in \mathbb{Z}\)

Assim:

\((2k)^2 = 2b^2 \\ 4k^2 = 2b^2 \\ b^2 = 2k^2\)

Pelo mesmo argumento, \(b\) é par. Mas se \(a\) e \(b\) são pares, a fração \(\frac{a}{b}\) não é irredutível, pois poderíamos simplificar cada termo por 2. Logo, é um absurdo que \(\sqrt{2}\)  seja racional.